第２回　定積分の定義に基づいた計算例
第２回　定積分の定義に基づいた計算例定積分（リーマン積分）の定義を最初に示す。（リーマン）積分の定義関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。任意の分割Δとそのそれぞれのの任意のに対して　　であ..
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第１回　定積分（リーマン積分）の定義
第１回　定積分（リーマン積分）の定義リーマン和の定義有界閉区間[a,b]の分割　　に対し、を選んで 　　をリーマン和と呼び、 　　を分割の幅という。 （リーマン）積分の定義関数f(x)は有界..
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上限・下限の問題
上限・下限の問題問題を解く前に、最大数、最小数の定義を与える。最大数・最小数の定義Aを空でない実数Rの集合とする。α∈Rが、α∈AかつAの上界であるとき、αをAの最大数といい、max Aであらわす。β..
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ニュートン法
ニュートン法f(x)を微分可能な関数とする。方程式 　　の解をx=αとする。右の図のように適当な点x₁を選び、y=f(x)の点(x₁,y₁)における接線の方程式は 　　で、この接線とx軸との交点のx座..
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数値積分　台形公式、中点公式とシンプソンの公式の導出と誤差
数値積分　台形公式、中点公式とシンプソンの公式の導出と誤差次の定積分を考える。　　これは、x=t+aと変数の変換を行えば、dx=dtでかつ、x=aにはt=0、x=a+hにはt=hが対応するので、 　　..
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２次精度のルンゲ＝クッタ法
２次精度のルンゲ＝クッタ法α、βを適当に選ぶと、所定の誤差の範囲で、における定積分を 　　と近似できるものとする。微分方程式は 　　よって、 　　ところで、を点でテーラー展開し、h²で打ち切ると 　　..
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修正オイラー法
修正オイラー法１階の常微分方程式の初期値問題の一般形は 　　だが、より簡単な次のものを考える。 　　（２）の解は 　　g(x)>0の場合、(3)の右辺 　　はg(x)とx軸と２直線で囲まれた部分..
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関数の連続の問題
関数の連続の問題問題１ 　　とするとき、関数の連続性を調べよ。【解】a∈Rとし、fが点aで連続であると仮定する。aに収束する有理数の点列（数列）を考えると、 　　aに収束する無理数の点列を考えると 　..
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関数の連続の定義
関数の連続の定義関数の連続の定義は、定義Ⅰ関数f(x)の定義域Iに属する任意のaに対して 　　であるとき、関数f(x)はx=aで連続であるという。定義Ⅰは、高校で習い、それ以降も使い続けている連続の定..
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ねこ騙し流「アキレスと亀」
ねこ騙し流「アキレスと亀」アキレスと亀という有名な話がある。足の速いアキレスと足の遅い亀が走り競争することになった。同一地点から同時に出発したならば勝負の結果は、誰の目にもあきらかだ。そこで亀はハンデ..
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広義積分のおまけ
広義積分のおまけ問題１　次の等式を証明せよ。 　　【解】t=tanxとおくと 　　だから 　　また、 　　そして、積分区間の限界はx=0のときt=0、x→π/2+0のときt→+∞だから　　（解答終了）..
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第１６回　第１５回の問題の別解
第１６回　第１５回の問題の別解第１５回の解答とは違う解答を紹介することにする。問題１ 　　を示し、この値を求めよ。【解】t=π/2−xとおくと、x=0のときt=π/2、x=π/2のときt=0、また、d..
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