第２１回　ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理とコーシーの収束条件
第２１回　ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理とコーシーの収束条件   定理９ 有界な数列は収束する部分列をもつ。 【証明】 有界だから 　　 を満たす正の実数Kが存在する。 ..
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第２０回　数列の極限とその定理
第２０回　数列の極限とその定理   数列 自然数全体の集合をNで表す。すなわち、N={1, 2, 3, ・・・, n, ・・・}。 自然数Nから実数Rへの写像を実数列、または、数列といい、..
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対数微分を用いて・・・
問題　関数の増減を調べることにより、次の不等式を導け。 m、nが3<n<mである整数ならば   関数の増減を調べるためには、の微分ができなければならない。 この微分を求める..
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一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数
関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。 　　 このとき、f(x)は、x=0で微分可能で連続であるが、それ以外の点すべてで連続でない。   x..
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積分形式のテーラーの定理
積分形式のテーラーの定理   関数f(x)は区間Iで級で、a、b∈Iとする。 このとき、 　　 が成立する。 この式の右辺を部分積分すると、 　　 同様に部分積分すると 　..
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凸関数の問題２
凸関数の問題２   問題を解く前に、関数の凹凸の定義を再掲する。   区間Iで定義された関数f(x)が、Iの任意の点x₁、x₂（x₁<x₂）に対して、x₁<x<x₂ なら..
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第１５回　ランダウ記号の性質
第１５回　ランダウ記号の性質   ランダウ記号の定義をあらためて示す。   ランダウの記号の定義 関数f(x)、g(x)が 　　 であるとき、 　　 で表す。 定理　..
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問題とその答え
  問題　次の関数f(x)について下の問に答えなさい。 　　 （１）　次の極限を求めなさい。 　　 極限を求める際にロピタルの定理を使ってよいものとする。   ロピタルの定理..
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無限大、無限小とランダウ記号
無限大、無限小とランダウ記号   §１　関数の無限大、無限小 aを実数または±∞とする。ならば、x→aのときf(x)は無限小であるという。ならばx→aのときf(x)は無限大であるという。 ..
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関数の凸凹に関する問題
関数の凸凹に関する問題問題１　関数f(x)は、開区間Iで２回微分可能、かつ、f''(x)>0とする。曲線y=f(x)は、Iで常に接線の上側にあることを証明せよ。 ［解］ aを開区間I..
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凸関数と凹関数
第１２回　凸関数と凹関数   区間Iで定義された関数f(x)が、Iの任意の点x₁、x₂（x₁<x₂）に対して、x₁<x<x₂ ならば 　　 であるとき、f(x..
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テーラーの定理とテーラー展開、マクローリン展開
第１０回　テーラーの定理とテーラー展開、マクローリン展開   定理　テーラーの定理 関数f(x)は閉区間[a,b]でn−1回連続微分可能、開区間(a,b)でn回微分可能ならば 　　 ..
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