2次導関数を用いた極値の判定
2次導関数を用いた極値の判定定理　関数f(x)が連続な導関数f'(x)、f''(x)を有する区間内において、　（Ⅰ）　f'(a)=0、f''(a)&gt..
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ワンポイントゼミ７
ワンポイントゼミ７n次の整式、多項式は　　と展開できる。なお、 　　は、f(x)を１回、２回、３回…、n回微分して得られる導関数である。たとえば、f(x)=x³という関数の場合、 　　である。問 　　..
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高次導関数
高次導関数関数y=f(x)の導関数f'(x)もまたxの関数であり、これをさらに微分して得られる導関数をy=f(x)の第２次導関数といい、　　などの記号であらわす。d²y/dx²は を略したもの..
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速度と道のり
速度と道のり直線上を運動する点Pがあり、時刻tにおける速度をv=f(t)と表せば、 　　である。t=aにおける点Pの位置をx₁、t=bにおける点Pの位置をx₂とすれば、t=aとt=bの間における変位（..
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ワンポイントゼミ４　微分を用いて、整式を(x−a)²で割った余りを求める
ワンポイントゼミ４　微分を用いて、整式を(x−a)²で割った余りを求める問題　f(x)を２次以上の整式とする。（１）　f(x)を(x−a)²で割ったときの余りが 　　であることを証明せよ。（２）　f(..
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ワンポイントゼミ３　球の体積
ワンポイントゼミ３　球の体積半径rの円の体積Vは 　　このことを定積分を使って求めることにする。【方法１】原点Oを中心とする半径rの半円は 　　これをx軸のまわりに回転して得られる立体は球で、この体積..
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体積の問題２
体積の問題２問題１　異なる２つの放物線y=x²、y=(1−a²)x²+aが交わるとき、これらで囲まれる図形をy軸のまわりに回転してできる回転体の体積は、aの値にかかわらず一定であることを証明せよ。ただ..
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定積分と面積の問題２
定積分と面積の問題２問題１　放物線y=x²上の任意の２点P、Qにおける接線の交点をRとするとき、P、Qの位置に関係なく、放物線は△PQRの面積を2:1に分けることを示せ。【解】P(a,a²)、Q(b,..
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定積分と面積の問題１
定積分と面積の問題１問題１　曲線y=x³−4xと、その上の１点(1,−3)における接線とが囲む図形の面積を求めよ。【解】y'=3x²−4だから、点(1,−3)における接線の方程式は 　　y=x..
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偶関数と奇関数の積分
偶関数と奇関数の積分偶関数とは、f(−x)=f(x)が成立する関数のことで、y軸に関して対称な関数。だから、 　　が成立する。たとえば、f(x)=x²がその代表的な例であり、 　　になる。対して奇関数..
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ルジャンドルの多項式
ルジャンドルの多項式問題１　任意の実数p,qに対して、次の成り立たせるような２次関数f(x)=x²+ax+bを求めよ。 　　【解】　　任意の実数p、qについてつねに成り立つので、 　　この連立方程式を..
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微分積分　平均値の定理
微分積分　平均値の定理この平均値の定理を証明するためには、次のロールの定理が必要である。ロールの定理f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能とする。f(a)=f(b)であるならば、..
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