小4の算数パズル

長女（小4）がインフルエンザで学校を休んでいます。
新学期早々、学業が遅れてしまうのが心配になって
昨晩、算数をみてあげました。

教科書を開いたら、先頭のほうに、数字遊びのようなコーナーがありました。

合計が同じカード

1から10の数字が書かれたカードを下の図のように並べます。
たての合計、よこの合計が等しくなるように並べましょう。

例

↑ (1)	(2)→
	7	6	9	(3) ↓
	3		1
	2		4
	10	5	8
←(4)

上の例では
たて(1)の合計は、10+2+3+7=22
よこ(2)の合計は、7+6+9=22
たて(3)の合計は、9+1+4+8=22
よこ(4)の合計は、8+5+10=23

「ちょっと、おしいですね。」

1人、またはグループでといてみましょう。

出典:「みんなと学ぶ　小学校　算数　4年上」,学校図書(株),平成19年2月10日発行 （vision注：正確な引用ではありません。)

魔方陣のようなパズルです。
早速とりかかってみたんですが、けっこうむずかしい。
長女に「これは遊びのページだから先に進もうよ」と促され、一旦断念。

長女が寝てから再チャレンジするも、いっこうに解けない。
教科書に答えは載っていませんでした。

「これ、ほんとに解けるのかな？」と疑心がつのりました。 己に負けてしまい、ネットでヒントを調べました。

合計が18,19,20で解けるらしい。

早速、合計18になるようにチャレンジ。
やっとこさ、解けました。

タグ：魔方陣

コメント 5

実力がないため、エレガントな解法は見つかりませんでした。
最終的には、チカラ仕事となってしまいました。
以下、どうやって解いたか思い出してみます。


カードに記号をふってみる。
左上から時計回りに、A,B,C,...,J.

(1)AからJまでの合計は
A+B+C+...+J=55

(2)四辺の合計は
(A+B+C)+(C+D+E+F)+(F+G+H)+(H+I+J+A)=18×4=72

(3)四つの角にあるカード合計A+C+F+Hは(2)－(1)により
A+C+F+H=17
となる。

(4)カードBとGに注目してみる。BとGを含む２辺の合計は
(A+B+C)+(F+G+H)=18+18=36
ここから(3)を引いてみる。
(A+B+C)+(F+G+H)-(A+C+F+H)
=B+G=19
BとGには、10か9のいずれかが入るようだ。

(5)今、仮にBに10、Gに9を入れてみると
A+B+C=18だからA+C=8となる。
F+G+H=18だからF+H=9となる。

(6)四つの角A,C,F,Hに注目してみる。
A+C+F+H=17となる4つの数字の組み合わせを挙げてみる。
ただし、9と10は使えない。
また、A+C=8,F+H=9なので、2つどうし足すと8と9になる組み合わせでなければならない。
そうすっと、こんな組み合わせになるだろう。
{1,2,6,8}
{1,3,5,8}
{1,3,6,7}
{1,4,5,7}
{2,3,5,7}
{2,4,5,6}

(7)これまでに注目していなかったカードD,E,I,Jに注目してみる。
これらを含む２辺の合計は
(C+D+E+F)+(H+I+J+A)=36
(5)によりA+C=8,F+H=9なので
D+E+I+J=19
となる。

(8)D+E+I+J=19となる4つの数字の組み合わせを考えてみる。
ただし、9と10は使わないので、こんなもんじゃろか？
{1,5,6,7}
{2,3,6,8}
{2,4,6,7}
{3,4,5,7}

(9)さて、候補が出揃ったのでいよいよ組閣作業に入る。
合計17となる組み合わせと、合計19となる組み合わせで
お互いの数字がダブらない組み合わせはいくつかに絞られる。
{1,2,6,8}と{3,4,5,7}
{1,3,5,8}と{2,4,6,7}
{1,4,5,7}と{2,3,6,8}
こんなもんじゃろか？

(10)ここからは手計算が面倒なので、Excelを使いました。
数字を１つ１つ入れていって、各辺の合計が18になるよう配置を調整したり。
そのような手作業の結果、なんとか答えが見つかりました。


もっといい方法を探してみます。
by vision (2007-04-16 12:34) 

難しー! ~~
これ、きっとアルゴリズムの問題だよね？
構成を列挙して条件を満たすルートを見つけるんじゃないかと思うんだけど、
どう組み立てたらいいのかきっかけがつかめません
グラフで組み立てるんだろうなぁ
もうちょっとやってみます...
by echigoya_manekineko (2007-04-16 20:53) 

今回も面白そうなパズル。

でもvision様。解答はもう少し下のほうに書いて下され。

読んでたら答え見えちゃった。


解答には一週間集中したい。

ホテルの予約が取れず、ネットカフェで一夜を過ごした。ビリー・ザ・ブートキャンプより
by 囲炉裏の火種 (2007-04-17 06:34) 

猫様

そうですね。きっかけがつかみにくいですね。
私、初日は、数字をあれこれあてはめて、18だったらいけそうな感触は
つかめたのですが、実証できませんでした。

私も「グラフ理論を応用できるかな？」と思い
「ＮＨＫ高校講座　数学基礎」2006年の第17回の
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/suugakukiso/2006/study17/index1.html#d
↑このへん
を参考にしてはみたものの、まだエレガントな解法が見つけられません。

#　秋山仁先生はグラフ理論が専門だったんですね。
#　数学基礎の2006年のバックナンバーのページは長期保管してほしいです。NHK様


火種様
すまぬ。解答、解法を書くときは今後注意します。
by vision (2007-04-17 09:17) 

イヤハヤ、この問題が気になって「気もそぞろ」です。

今回の例題は（たて4、よこ3）でした。

解法を求めるために（たて3、よこ3）でチャレンジしてみました。
1,2,3･･･,8の数字を当てはめました。

できますね。
4辺の合計が一致しました。
答えは秘密にしておきます。

おそらく（たて4、よこ4）でも可能なんでしょう。

解法はまだ見つかっていませんが
とっかかりは見つかりました。
by vision (2007-04-17 18:51)